1.1   تبدیل شده به نرمال ۱

جدول فروش یک فروشگاه

شماره جنس	نام جنس	موجودی	شماره فاکتور فروش	میزان فروش
1	شکر	1000	1	12
1	شکر	1000	4	14
1	شکر	1000	5	5
2	نمک	1500	2	10
2	نمک	1500	4	20
2	نمک	1500	5	30
2	نمک	1500	3	40

کلید؟

ترکیب «شماره جنس» و «شماره فاکتور فروش» کلید را تشکیل می‌دهد.

روشن است که این جدول مشکل دارد و روشن این که باید دو جدول باشد ولی چه قانونی این را می‌گوید.

1.2   دو جدول پیشنهادی

جدول موجودی فروشگاه

شماره جنس	نام جنس	موجودی
1	شکر	1000
2	نمک	1500

جدول فروش یک فروشگاه

شماره جنس	شماره فاکتور فروش	میزان فروش
1	1	12
1	4	14
1	5	5
2	2	10
2	4	20
2	5	30
2	3	40

مشکل‌های جدول‌های پیشین چه بودند؟

ناهنجاری افزودن داده، حذف داده،‌به روز رسانی داده

قانون تقسیم چه می‌تواند باشد.

2.1   ویژگی‌های ریاضی وابستگی تابعی

به این ترتیب وابستگی تابعی می‌تواند به صورت یک عمل ریاضی تعریف شود و ویژگی‌های آن از دید ریاضی بر روی رابطه‌ها بررسی گردد. بنابراین تعدادی اصل و تعدادی ویژگی و قضیه ار روی آن به دست می‌آید که در اینجا به بخشی از آن پرداخته می‌شود.

اگر X ، Y و Z مجموعه‌هایی از ویژگی‌ها در یک رابطه‌ی R باشند برخی از قانون‌هایی که نتیجه می‌شود در ادامه نوشته شده است.

اصول آرمسترانگ

• بازتابی بودن: اگر Y زیر مجموعه‌ی X باشد آن‌گاه X ⭢ Y
• بسط پذیری : اگر X ⭢ Y آن‌گاه XZ ⭢ YZ
• تراگذری : اگر X ⭢ Y و Y ⭢ Z آن‌گاه X ⭢ Z

قانون‌های زیر می‌تواند از روی سه قانون بالا به دست آید:

• خود تعیینی : همواره داریم X ⭢ X
• اجتماع : اگر X ⭢ Y و X ⭢ Z آن‌گاه X ⭢ YZ
• تجزیه : اگر X ⭢ YZ آن‌گاه X ⭢ Y و X ⭢ Z
• شبه تراگذری: اگر X ⭢ Y و WY ⭢ Z آن‌گاه WX ⭢ Z
• ترکیب : اگر X ⭢ Y و Z ⭢ W آن‌گاه XZ ⭢ YW
• اتحاد کلی : اگر X ⭢ Y و Z ⭢ W آن‌گاه X ⋃ (Z - Y) ⭢ YW

2.2   بستار وابستگی تابعی

به مجموعه‌ی همه‌ی وابستگی‌های تابعی که می‌تواند از روی چند وابستگی تابعی به دست آید بستار آن وابستگی‌های تابعی گفته می‌شود. اگر F یک مجموعه وابستگی باشد ⁺F مجموعه‌ی بستار F است.

برای نمونه اگر در رابطه‌ی R ویژگی‌های A,B,C,D را به همراه قانون‌های وابستگی زیر داشته باشیم

1. A → B
2. B → C
3. AB → D

آن‌گاه قانون‌های زیر (بخشی از بستار این قانون‌ها) می‌تواند به دست آید:

1. A → A
2. A → AB
3. A → ABD
4. A → ABCD
5. B → B
6. B → BC
7. A → D

2.3   مجموعه‌ی کاهش ناپذیر وابستگی‌ها

در یک رابطه (جدول) به مجموعه‌ای از وابستگی‌های تابعی گفته می‌شود که کمینه باشد یا به عبارت دیگر هیچ کدام از قانون‌های وابستگی درون این مجموعه نتواند به شکلی از روی دیگر قانون‌ها به دست آید. مجموعه‌ای کاهش ناپذیر از وابستگی‌ها است اگر و فقط اگر سه قانون زیر را داشته باشد.

• سمت چپ (تعیین کننده) هر وابستگی تابعی کاهش ناپذیر باشد. یعنی اگر سمت چپ یکی از قانون‌های وابستگی را کاهش دادیم حتما مجموعه‌ی بستار به دست آمده از آن تغییر کند(نه اینکه بتواند از قانون‌های دیگر به دست آید). به عبارت دیگر همه‌ی وابستگی‌ها باید کاهش ناپذیر چپ باشند.
• هیچ وابستگی تابعی نتواند بدون تغییر بستار از این مجموعه حذف شود.
• سمت راست(وابسته) هر وابستگی تابعی فقط یک ویژگی داشته باشد.

4.1   وابستگی باواسطه

شمارهٔ دانشجویی, نام, نام خانوادگی, کدپستی دبیرستان

کدپستی دبیرستان, نام دبیرستان, شهر دبیرستان

جدول دانشجو

شمارهٔ دانشجویی	نام	نام خانوادگی	کدپستی دبیرستان
۹۸۱۲۵۶۱	علی	رحیمی	۸۹۲۷۳۹۸۷۴
۹۸۱۲۵۶۲	کوروش	پارسایی	۸۹۲۷۳۹۸۷۴
۹۸۱۲۵۶۳	احمد	یوسفان	۷۶۷۶۵۶۷۸۷۴
۹۸۱۲۵۶۴	کامران	خداپرستی	۸۹۲۷۳۹۸۷۴
۹۸۱۲۵۶۵	رضا	حقیقی	۸۹۲۷۳۹۸۷۴
۹۸۱۲۵۶۶	محمدرضا	مغزی	۷۶۷۶۵۶۷۸۷۴

جدول دبیرستان

کدپستی دبیرستان	نام دبیرستان	شهر دبیرستان
۸۹۲۷۳۹۸۷۴	امام صادق	شهرضا
۷۶۷۶۵۶۷۸۷۴	منتظری	نجف‌آباد

4.2   استثناها

جدول خریدار

نام خریدار	کدپستی خریدار	شهر	خیابان	کوچه	پلاک
Ali	558633	Kashan	Street1	alley1	23
Kamran	912133	Arsanjan	Street2	alley2	32
Hamid	234553	Kohdasht	Street3	alley3	21
Koroush	494833	Mamasani	Street4	alley3	20
Reza	232444	Kazeron	Street5	alley6	12

جدول دانشجو

شمارهٔ دانشجویی	نام و نام خانوادگی	شمارهٔ ملی	نام پدر	نام و نام خانوادگی مادر	کدپستی	شهر	خیابان	کوچه	پلاک
۹۸۲۳۲۳	علی رضایی	۲۹۸۷۳۹۲۸۳	رضا	اختر صالحی	۷۶۸۷۹۸۷	کاشان	باباافضل	محمدی	۲۳
۹۷۲۳۸۲۳	کامران خداپرست	۳۹۸۴۵۰۹۳	بهرام	اختر شیرین	۹۰۴۸۴۲۰۹۳	زاهدان	رضایی	سعیدی	۳۴
۹۷۳۸۳۸۷	مهدی رضایی	۲۹۸۷۳۹۲۸۴	رضا	اختر صالحی	۷۶۸۷۹۸۷	کاشان	باباافضل	محمدی	۲۳
۹۸۲۳۷۴	حسین رضایی	۲۹۸۷۳۹۲۸۵	رضا	اختر صالحی	۷۶۸۷۹۸۷	کاشان	باباافضل	محمدی	۲۳
۹۶۰۹۸۳۴	زینب رضایی	۲۹۸۷۳۹۲۸۶	رضا	اختر صالحی	۷۶۸۷۹۸۷	کاشان	باباافضل	محمدی	۲۳

5.1   همهٔ وابستگی‌ها در جدول فقط به کلید اصلی باشد.

6.1   multivalued dependency

وابستگی چند مقداری

SSN →→ Book | Sport

SSN Sport Book 54467 Volleyball We 54467 Volleyball Hafez 54467 Basketball We 54467 Basketball Hafez 65231 Tennis Pinocchio 65231 Tennis Animal Farm 65231 Tennis Hafez 65231 Basketball Pinocchio 65231 Basketball Animal Farm 65231 Basketball Hafez

SSN Sport 54467 Volleyball 54467 Basketball 65231 Tennis 65231 Basketball SSN Book 54467 We 54467 Hafez 65231 Pinocchio 65231 Animal Farm 65231 Hafez

---

جدولی را در نظر بگیرید که شمارهٔ ملی یک نفر را به همراه نام فرزندان و شماره تلفن‌های فرد نگهداری می‌کند. هر فرد می‌تواند چند شمارهٔ تلفن و چند فرزند داشته باشد.

SSN	child	phone
54467	ali	90284902
54467	ali	82434893
54467	reza	90284902
54467	reza	82434893
65231	hamid	9284028
65231	hamid	9284026
65231	hamed	9284028
65231	hamed	9284026
65231	mahmood	9284028
65231	mahmood	9284026

می‌تواند به دو جدول زیر شکسته شود.

SSN child 54467 ali 54467 reza 65231 hamid 65231 hamed 65231 mahmood

SSN phone 54467 90284902 54467 82434893 65231 9284028 65231 9284026

---

فرض کنید در فروشگاهی امکان خرید گروهی نیز باشد یعنی یک گروه از خریداران با نام‌های گوناگون یک خرید را با هم انجام دهند و یک فاکتور برایشان صادر شود. برای نمونه اگر سه نفر از اعضا خانواده با هم برای خرید آمدند نام هر سه نفر در فاکتور خرید آورده شود در حالی که یک فاکتور برای جنس‌های درون آن زده شود. بنابراین قانون زیر نیز افزوده شود:

برای یک فاکتور یک یا چند قلم جنس و یک یا چند خریدار می‌تواند وجود داشته باشد.

با این فرض، جدول زیر برای فروش پیشنهاد شده است.

جدول فروش همراه خریدار

شماره جنس	شماره فاکتور فروش	میزان فروش	نام خریدار
1	1	12	Ali
1	4	14	Kamran
1	5	5	Hamid
2	2	10	Koroush
2	4	20	Kamran
2	5	30	Hamid
2	3	40	Reza
1	5	5	Shahin
2	5	30	Shahin

میزان فروش فقط به شماره‌ی جنس و شماره‌ی فاکتور بستگی دارد بنابراین جدول در نرمال سطح دوم نیست پس به دو جدول زیر شکسته می‌شود.

جدول فروش

شماره جنس	شماره فاکتور فروش	میزان فروش
1	1	12
1	4	14
1	5	5
2	2	10
2	4	20
2	5	30
2	3	40

جدول فروش همراه خریدار

شماره جنس	شماره فاکتور فروش	نام خریدار
1	1	Ali
1	4	Kamran
1	5	Hamid
2	2	Koroush
2	4	Kamran
2	5	Hamid
2	3	Reza
1	5	Shahin
2	5	Shahin

اکنون اگر این جدول را بدون توجه به دیگر جدول‌های نگاه کنیم روشن است که جدول خوبی نیست ولی تا نرمال BCNF مشکلی ندارد. روشن است که تکرار داده دارد در واقع نوعی گروه بندی یا عدم وابستگی میان آنها وجود دارد که باعث می‌شود بهتر ببینم به دو جدول زیر آن را بشکنیم بدون این که اطلاعاتی از دست برود.

جدول فروش: فاکتور - جنس

شماره جنس	شماره فاکتور فروش
1	1
1	4
1	5
2	2
2	4
2	5
2	3

جدول فروش: فاکتور - خریدار

شماره فاکتور فروش	نام خریدار
1	Ali
4	Kamran
5	Hamid
2	Koroush
4	Kamran
5	Hamid
3	Reza

مشخص است که با توجه به جدول فروش که از سه ستون شماره جنس، شماره فاکتور فروش و میزان فروش ساخته شده است دیگر نیازی به جدول فروش: فاکتور - جنس نیست و می‌تواند حذف شود و دو جدول زیر باقی بماند.

جدول فروش

شماره جنس	شماره فاکتور فروش	میزان فروش
1	1	12
1	4	14
1	5	5
2	2	10
2	4	20
2	5	30
2	3	40

جدول فروش: فاکتور - خریدار

شماره فاکتور فروش	نام خریدار
1	Ali
4	Kamran
5	Hamid
2	Koroush
4	Kamran
5	Hamid
3	Reza

چرا این دو جدول همه‌ی اطلاعات مربوط به جدول پیشین را در بردارد؟

مهم‌ترین نکته این است که خریداران گوناگون در یک فاکتور فروش نمی‌توانند جنس‌های گوناگونی داشته باشند و همه‌ی جنس‌هایشان تکراری است.